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By Norbert Klingen

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Daher spaltet die Torsionsgruppe (hier µK ) direkt ab1) und wir erhalten UK t µK ⊕ ⊕ ZZεi i=1 1) Eine endlich erzeugte abelsche Gruppe A = a1 , . , an ZZ ist darstellbar als epimorphes Bild von F = ZZ n : ei → ai (i = 1, . . , n). Also ist A F/R mit einer Untergruppe R der freien abelschen Gruppe F ZZ n (dem Kern R der obigen Abbildung F → → A, der Gruppe der Relationen zwischen den ai ). Nach dem Elementarteilersatz existiert in der freien abelschen Gruppe F eine Basis b1 , . , bn , m ≤ n und nat¨ urlin che Zahlen d1 | d2 | .

Also kann man in S zun¨ achst ein a und dann ein b w¨ ahlen mit r aS = i=1 P|pi r bS = i=1 P|pi PnP · PnP · s PaP = A · C1 j=r+1 P|pj s P0 j=r+1 P|pj · t l=s+1 P|pl PbP = A · 1 · C2 Dabei sind nach Konstruktion die Ideale Ci teilerfremd und daher aS + bS = ggT(aS, bS) = ggT(AC1, AC2) = A . 44 Durch die Aufsplittung der Primzerlegung nach den unten liegenden Primidealen sind aber nicht nur die Ci , sondern sogar ihre Normen NK|k Ci teilerfremd, denn die Primteiler von NK|k Ci sind gerade die im jeweiligen Produkt auftretenden pν ∈ Pk und die sind gem¨ aß der Wahl voneinander verschieden.

18) die Dualbasis (a∗j ) eine ZZ-Basis von S ∗ und es gilt: dS = D(a1 , . , an ) und dS ∗ = D(a∗1 , . . , a∗n ) . ˜ Wir berechnen das Produkt beider Diskriminanten. Mit den n Einbettungen σi : K → Q (i = 1, . . , n) (vgl. ) ist dS · dS ∗ das Quadrat von det(σi aj )i,j · det(σj a∗k )j,k = det(σj ai )i,j · det(σj a∗k )j,k = det j σj (ai ) · σj (a∗k ) = det Tr(ai a∗k ) = det Damit ist dS ∗ = 1 dS i,k ai , a∗k = det(δik ) = 1 . 19) komplett. 20) Satz: (Dedekindscher Differentensatz) Sei R ein Dedekindring mit Quotientenk¨ orper k, K|k eine endlich separable Erweiterung und DK|k = P∈PK PmP die Primzerlegung der Differente von K|k.

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by Richard
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